<T->
          Matemtica e realidade
          7 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2012 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1065-6
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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<p>          
                             I
Sumrio

Quarta Parte

Unidade 4 -- Potenciao e 
  radiciao

Captulo 17- Potncia de 
  expoente natural :::::::::: 325
Calculando potncia :::::::: 327
Propriedades da 
  potenciao ::::::::::::::: 335
Multiplicando potncias de
  mesma base :::::::::::::::: 335
Dividindo potncias de 
  mesma base :::::::::::::::: 337
Potncia de uma potncia ::: 340
Captulo 18- Potncia de
  expoente negativo ::::::::: 350 
Potncias de expoente 
  negativo :::::::::::::::::: 352
Captulo 19- Raiz 
  quadrada aritmtica ::::::: 364
Quadrados perfeitos :::::::: 365
Raiz quadrada :::::::::::::: 369
<p>
Unidade 5 -- Geometria: reas

Captulo 20- Distncias 
  e reas ::::::::::::::::::: 388
Recordando reas ::::::::::: 388
Distncias entre dois 
  pontos :::::::::::::::::::: 390
Raio: uma distncia 
  especial :::::::::::::::::: 391
Distncia entre um ponto 
  e uma reta :::::::::::::::: 392
Distncia entre duas 
  retas paralelas ::::::::::: 394
rea do paralelogramo :::::: 398
rea do tringulo :::::::::: 406
rea do losango :::::::::::: 410
rea do trapzio ::::::::::: 413
<121>
<T mat. realidade 7>
<t+325> 
Unidade 4 -- Potenciao e 
  radiciao 

Captulos: 
 17- Potncia de expoente 
  natural 
 18- Potncia de expoente 
  negativo 
 19- Raiz quadrada 
  aritmtica 

Unidade 5 -- Geometria: reas

Captulo:
 20- Distncias e reas 
<122>

Captulo 17- Potncia de 
  expoente natural 

Mais de 4 milhes 

  -- Qual  o maior nmero que podemos representar escrevendo trs 2 e nenhum sinal? -- perguntou a professora. 
<p>
  Ricardinho respondeu rapidamente, sem pensar: 
  --  222. 
  Mas Adriana lembrou-se da potenciao e escreveu algumas potncias: 
 222; 222; 222. 
  Voc tambm se lembra? A potncia  um produto de fatores iguais  base. A quantidade de fatores  indicada pelo expoente. Veja como Adriana fez: 

_`[{a menina pensa: 
 "210=25.25 
 25=2.2.2.2.2=32 
 210=32.32=1.024"_`]

 222=22.22=484
 22: base
 2: expoente

 222=210.210.
  .22=1.024.#a.jbd.#d
 10+10+2=22 fatores
 222=2?2.2*=24=
  =2.2.2.2=16
<p>      
  Mesmo sem calcular at o fim, Adriana percebeu que o maior  222, que d mais de 4 milhes! 

Calculando potncia 

  Vamos recordar com exemplos o clculo da potncia de expoente natural `(0, 1, 2, 3, 4, ...`). 
<123>
<R+>
 `(-2)5=
  =`(-2)`(-2)`(-2)`(-2)`(-2)=-32 
 `(-10)4=
  =`(-10)`(-10)`(-10)`(-10`)=
  =+10.000 
 `(-#;e`)3=
  =`(-#;e`)`(-#;e`)`(-#;e`)=-#"abe
 `(0,56)2=0,56.0,56=0,3.136 
 `(0,8)1=0,8 (potncia de expoente 1  igual  base) 
 `(#:g`)0=1 (potncia de expoente 0, com base no nula,  igual a 1) 
 `(-40)0=1 
<p>
Exerccios

1. Observe as potncias dos cartes: 

_`[{cartes: `(+11)3;
  `(-59)2; `(0,5)3;
  `(-7)3; `(-2)10; `(-6)2; 
  `(-14)3; `(+7)2; 
  `(+3)0; `(6.121500)0;
  `(-1)5; `(-0,54)0; 
  `(-7)2; `(-11)2; 
  `(-527)1; `(+23)3; `(61,37)1; `(+4)3;
  `(-2)6; `(-157)2; `(+37)1; `(-2,1)2; `(-4)3; `(+2)10; `(-310)3_`]

 a) Separe as potncias que tm expoente 0 ou 1 e d o valor de cada uma. 
 b) Separe as que tm a base elevada ao quadrado e calcule-as. 
<p>
 c) Separe tambm as que tm a base elevada ao cubo e calcule-as. 
 d) Calcule as demais potncias. 

2. Calcule as potncias de cada grupo a seguir: 
 Grupo I: `(-#;c`)3;  
  `(-#;c`)4; `(-#:e`)2;
  `(#g`)3.
 Grupo II: `(0,2)3; 
  `(0,17)2; `(-0,3)4;
  `(-4,2)3.
 Grupo III: `(-#*aa`)1; 
  `(-#*aa`)0; `(0,1.234)1; 
  `(12,34)0.
 Grupo IV: `(-1)0; `(-1)1;
  `(-1)2; `(-1)3; `(-1)4; 
  `(-1)5; `(-1)59; `(-1)172.

3. Resolva: 
 a) A base  um nmero negativo. Qual  o sinal da potncia?  
 b) Calcule `(0,4)3. Quanto  
  `(-0,4)3?  
 c) Calcule `(0,2)4. Quanto  
  `(-0,2)4? 
<124>
<p>
4. Determine o valor de: 
 a) `(-9)0 
 b) `(-9)1 
 c) `(+1)9 
 d) `(-1)9 
 e) `(-1)10 
 f) `(-10)1 
   
  Observe que:
 `(-3)2=`(-3)`(-3)=+9
 -32=-`(3.3)=-9

5. Agora, indique o valor de: 
 a) `(-5)2 
 b)  -52 
 c) `(-9)2 
 d)  -92  

6. Calcule: 
 a) `(-10)3 
 b) -103 
 c) `(-10)4 
 d) -104 
<p>
7. Nesta cruzadinha de nmeros, em cada item, h uma potncia de base 10. Qual  o expoente de cada uma?

_`[{cruzadinha adaptada_`]
 a: 100
 b: 100.000
 c: 10.000
 d: 10
 e: 1
 f: 1.000

8. Indique e calcule o quadrado e o cubo de cada nmero dos cartes: 
 a) +2; +20; +200.
 b) -5; -50; -500.

9. J calculei: `(-6)6=46.656. Quanto  `(-6)7? E `(-6)5? 
<p>
10. Quantas potncias de base 0,8 e expoente natural so maiores que 0,5? 
 11. Quais potncias de base 0,5 e expoente natural so maiores que um dcimo?  

12. Qual  o nmero? 
 5.25+4.24+3.23+
  +2.22+1.21+0.20 
 26+2.25+4.24+
  +8.23+16.22+
  +32.21+64.20 

13. Que nmero ? 
 6.105+5.104+4.103+
  +3.102+2.101+1.100 
 22.104+44.102+66.100 

14. Qual  o valor de cada expresso? 
 a) 3.`(-#;c`)2-5.`(#c`)2
 b) `(0,5)3-2`(0,4)3+
  +3`(0,3)2-4`(0,2)2
 c) `(-#;e`).`(#;d`).`(-#;c`)2+3
<p>
 d) 5.`(-#;c`)3+4.`(-#;c`)2+
  +6.`(-#;c`)+1
 e) `(-#;i`)2.`(#,c`)2+
  +`(-#;c`)2`(#=i`)
 f) `(0,1)3-`(0,1)2+
  +`(0,1)1-`(0,1)0

15. Qual  o maior nmero que podemos escrever com dois 5 e nenhum outro sinal? 
 16. Voc viu, no comeo do captulo, como Adriana indicou a potncia 222 multiplicando potncias menores: 
 222=210.210.22 
 22 fatores=10+10+2 
  Consultando esta tabela de potncias de base 2, calcule as potncias a seguir fazendo apenas uma ou duas multiplicaes: 
<R->
<p>
 !:::::::::::::::
 l 20=1      _
 r:::::::::::::::w
 l 21=2      _
 r:::::::::::::::w
 l 22=4      _
 r:::::::::::::::w
 l 23=8      _
 r:::::::::::::::w
 l 24=16     _
 r:::::::::::::::w
 l 25=32     _
 r:::::::::::::::w
 l 26=64     _
 r:::::::::::::::w
 l 27=128    _
 r:::::::::::::::w
 l 28=256    _
 r:::::::::::::::w
 l 29=512    _
 r:::::::::::::::w
 l 210=1.024 _
 r:::::::::::::::w
 l ...           _
 h:::::::::::::::j

212; 215; 222

Desafio

Em defesa do consumidor

  Um consumidor pagou R$7,79 por um pacote de arroz no qual estava indicado o peso de 5 kg. Desconfiado daquele peso, procurou o rgo oficial competente, que constatou um erro de 5% no peso do produto, contra o consumidor. 
  Qual foi, na realidade, o preo de 1 kg de arroz? 

Propriedades da potenciao 

Multiplicando potncias de mesma 
  base 

  Que potncia d o mesmo resultado que 104.103? E que `(-7)2.`(-7)? 
<p>
  Podemos proceder assim: 
 104.103=10.10.10.10.
  .10.10.10=107 
  4 fatores + 3 fatores = 7
  fatores 
 `(-7)2.`(-7)=`(-7)`(-7).
  .`(-7)=`(-7)3 
  2 fatores + 1 fator = 3 
  fatores 
<126>
  Um produto de potncias de mesma base pode ser representado por uma s potncia em que a base  a mesma dos fatores e o expoente  a soma dos expoentes dos fatores. Reveja: 
 104.103=10?4+3*=
  =107 
 `(-7)2`(-7)=`(-7)2.`(-7)1=
  =`(-7)?2+1*=`(-7)3 

<R+>
Propriedade da multiplicao de 
  potncias de mesma base 
<R->
  O produto de potncias de mesma base  igual  potncia que se obtm conservando-se a base e somando-se os expoentes. 
<p>
Exerccios

17. Reduza a uma s potncia: 
 a) 35.34
 b) `(-8)3.`(-8)2.`(-8)
 c) `(#;e`)0.`(#;e`)4.`(#;e`)8 

<R+>
18. Indique o expoente que deve ser colocado no lugar dos pontinhos. 
<R->
 `(0,5)`(0,5)3`(0,5)5`(0,5)7=
  =`(0,5)'''
 `(-11)4`(-11)5`(-11)'''=
  =`(-11)11 
 
Dividindo potncias de mesma base 

  Que potncia d o mesmo resultado que 105103? E `(-5)8`(-5)5? 
  Temos: 
 105103=?10.10.10.10.
  .10*?10.10.10*=10.10=
  =102
<p>
 `(-5)8`(-5)5=
  =?`(-5)`(-5)`(-5)`(-5)`(-5)
  `(-5)`(-5)`(-5)*
  ?`(-5)`(-5)`(-5)
  `(-5)`(-5)*=`(-5)
  `(-5)`(-5)=`(-5)3
  O quociente de potncias de mesma base pode ser escrito na forma de potncia. Na potncia resultante, a base  a mesma das potncias dadas, e o expoente  a diferena dos expoentes. Reveja: 
 105103=10?5-3*=
  =102 
 `(-5)8`(-5)5=
  =`(-5)?8-5*=`(-5)3 
<127>

<R+>
Propriedade da diviso de 
  potncias de mesma base 
<R->
  O quociente de potncias de mesma base  igual  potncia que se obtm conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes. 
<p>
Exerccios

19. Reduza a uma s potncia: 
 a) 5652
 b) `(-4)12`(-4)5 
 c) `(12)4`(12) 
 d) `(-0,5)10`(-0,5)9 
 e) 787

<R+>
20. Copie no caderno, substituindo os pontinhos pelo expoente: 
<R->
 a) `(2,25)5`(2,25)=
  =`(2,25)''' 
 b) `(-6)'''`(-6)2=
  =`(-6)2 
 c) `(#:h`)9`(#:h`)'''=`(#:h`)3 

<R+>
21. Aplique as propriedades das potncias e reduza a uma s potncia: 
<R->
 `(#:d`)5.`(#:d`)2`(#:d`)4
 `(#,b`)5.`(#,b`)3.`(#,b`)8
  `(#,b`)9
<p>
Potncia de uma potncia 

<R+>
 Que potncia equivale ao cubo de 210? 
<R->
 `(210)3=210.210.210=
  =2?10+10+10*=2?3.10*=
  =230
<R+>
 Que potncia equivale ao quadrado de `(-1,33)7? 
<R->
`[`(-1,33)7]2=`(-1,33)7.
  .`(-1,33)7=`(-1,33)?7+7*=
  =`(-1,33)?2.7*=`(-1,33)14 
  Quando elevamos uma potncia a um expoente, o resultado equivale a uma potncia com a mesma base e expoente igual ao produto dos expoentes. Reveja: 
 `(210)3=2?10.3*=230
 `[`(-1,33)7]2=
  =`(-1,33)?7.2*=
  =`(-1,33)14 

  A potncia de uma potncia  igual  potncia que se obtm conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. 
<p>
Potncia de expoente zero 

  Por que convencionamos que toda potncia de expoente 0, com base diferente de 0, d 1? 
  De acordo com as propriedades estudadas temos: 
 `(#:g`)5`(#:g`)5=
  =`(#:g`)?5-5*=`(#:g`)0
<128>
  Sabemos que `(#:g`)5 dividido por ele mesmo d 1: 
`(#:g`)5`(#:g`)5=1
  Para manter a propriedade vlida, devemos ter `(#:h`)0=1.
  Veja este outro exemplo: 
 `(-#,b`)3.`(-#,b`)0=
  =`(-#,b`)?3+0*=`(-#,b`)3 e 
  `(-#,b`)3.1=`(-#,b`)3
 `(-#,b`)0=1
  As propriedades estudadas so vlidas para todos os expoentes, inclusive para o expoente 0. 
<p>
Exerccios

<R+>
22. No seu caderno, copie, calculando o expoente: 
 a) `(102)2=10''' 
 b) `[`(-#c`)3]2=`(-#c`)'''
 c) `(24)5=2'''

23. Aplique as propriedades das potncias e reduza a uma s potncia: 
 a) `[`(17)5]3.`(17`)2
 b) `(-3)3.`[`(-3)4]2`(-3)
 c) ?`(22)3`(24)5*~
  ~`(26)4 

24. Descubra o nmero certo que deve ser colocado no lugar dos pontinhos, com auxlio das propriedades da potenciao: 
 64.65`(63)3=6'''
 `[`(-2)8]10
  `[`(-2)8.`(-2)10]=
  =`(-2)'''
<p>
25. Calcule, aplicando as propriedades das potncias: 
 a) `(-4)8`(-4)5 
 b) `(-1)12`(-1)
 c) `[`(+10)2]2 
 d) `[`(-10)3]2 
<F->

26. Voc  o juiz de uma gincana na sua classe. Em uma das provas, cartazes com informaes corretas valem 10 pontos e cartazes com informaes erradas valem -5 pontos. 
  Com quantos pontos ficar o aluno que apresenta os cartazes a seguir? (Se for necessrio, calcule as expresses antes de atribuir as notas.) 
<R->

_`[{cartazes_`]
32+30+33=35
`(-4)2=16
32.30.33=35
-42=-16
(33)=36
<p>
(0,01)2=0,1
(0,2)0=1
-90=-1
<F+>
<129>

  Quando escrevemos 10?32* (sem usar parnteses), fica convencionado que se trata de 10 elevado ao expoente 32. Como 32=3.3=9, temos: 
 10?32*=109 
  J `(103)2  o quadrado de 103 e vale a propriedade da potncia de potncia: 
 `(103)2=10?3.2*=106 

<R+>
27. Qual  o expoente que deve ser colocado no lugar dos pontinhos? 
<R->
 a) 2?52*=2'''
 b) (25)2=2''' 
 c) `(-#,c`)?23*=`(-#,c`)''' 
 d) `[`(-#,c`)2`]3=`(-#,c`)'''

<R+>
28. Veja os nmeros que Helinho escreveu usando trs 5 e nenhum outro sinal: 
<R->
 555; 555; 555; 5?55*  
  Qual deles  o maior? 
<p>
<R+>
29. Qual  o maior nmero que se escreve: 
 a) com trs 3 e nenhum outro sinal? 
 b) com trs 4 e nenhum outro sinal?  
 c) com trs 1 e nenhum outro sinal? 

30. Escreva como potncia de base 10: 
<R->
 a) um mil 
 b) um milho 
 c) um bilho 
 d) um trilho 

31. Qual  o expoente? 
 a) `(+10)'''=1.000
 b) `(-10)'''=10.000 
 c) `(-2)'''=-128 

<R+>
32. Descubra qual  o nmero que deve substituir os pontinhos: 
<R->
 a) `(-#,b`)'''=#,d
 b) `(#;c`)'''=#"bg 
 c) `(-#:d`)'''=1

<R+>
33. Voc quer obter o resultado indicado. Que nmero deve colocar no lugar da base? (Cuidado! Pode haver uma resposta, duas ou nenhuma!) 
<R->
<F->
a) `('''`)2=25 
b) `('''`)2=64
c) `('''`)3=64
d) `('''`)3=-#,h
e) `('''`)2=-4 
f) `('''`)2=#*ajj 
<F+>

<R+>
<F->
34. Como 210=1.024, em alguns clculos aproximados de nmeros muito grandes usamos 210 com o valor de aproximadamente mil (escrevemos 210^=1.000). Que potncias de base 2 so aproximadamente iguais aos nmeros a seguir? 
a) um milho 
b) um trilho 
<130>
<p>
35. As Copas do Mundo de futebol comearam em 1930 e aconteceram de 4 em 4 anos, exceto nos anos de 1942 e 1946, por causa da Segunda Guerra Mundial. O Brasil foi pentacampeo na Copa de 2002. Em que ano foi realizada a Copa que ocorreu na Sua? E a dos Estados Unidos, quando o Brasil foi tetracampeo?  
  Descubra esses anos, calculando as seguintes expresses: 
Sua: 72-`(2.5+1)0+
  +`[26+`(-3)4-`(21-60)`]
  `[`(-2)4-`(-2)3`] 
Estados Unidos: `(23)2+3?7-2.3*-
  -`(-3)792

36. Calcule as expresses: 
a) 7+32-2.42 
b) -52+2.51-3.`(-5)0 
c) 25-24-23-22-21-20 
<p>
d) `(-1)3+`(-1)2+3`(-1)1-
  -5`(-1)0 
e) -3+42`(-8)+16`(+2)2 
f) 22.`(-3)1+`(-5)2.70 

37. Vamos corrigir a lio de Camila? Quais itens esto certos? Quais esto errados? 
a) `(-7)2+`(-2)2=`(-9)2  
b) `[`(-3)+`(+2)`]2=`(-3)2+
  +`(+2)2
c) `[`(+5)-`(-1)`]2=`(+5)2-
  -`(-1)2 
d) `[`(+5).`(+4)`]2=`(-5)2.
  .`(+4)2
e) `[`(+15)`(-3)`]2=`(+15)2
  `(-3)2  

38. Calcule as expresses: 
a) `[#;c+3.`(-#;i`)`]2
b) `[`(-#,b`).`(-#,c`)+#,c`]3`(-#=b`)
c) `(-#,c`)5.`(#,c`)8`(#,c`)11
d) `(-#;c`)^-5.`(-#;c`)2.`(-#;c`)
e) `(#;c`)2+`(#c`)2
<F+>
<R->
<p>
Desafio

Fazendo mdia... 

  A estatura mdia dos 24 alunos de uma classe  175 cm. 
<R+>
a) Certo dia, faltaram Z Grando, o mais alto da turma, e Rapidinho, o mais baixo, cujas alturas so, respectivamente, 198 cm e 152 cm. Qual a estatura mdia dos alunos presentes? 
 b) E qual seria a estatura mdia dos alunos num dia em que apenas o Z Grando faltasse? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<131>
<p>
Captulo 18- Potncia de 
  expoente negativo 

<R+>
_`[{o professor pergunta: "Voc sabe qual  o valor de 5-1? e de 5-2?"_`]
<R->

  Observe as potncias de base 5 e expoentes assinalados na reta: 

 <:w::w::w::w::w::::::>
   0 1 2 3 4

<F->
0 :> 50 :> 1
1 :> 51 :> 5
2 :> 52 :> 25
3 :> 53 :> 125
4 :> 54 :> 625
<F+>

  Aumentando os expoentes de 1 em 1, as potncias vo sendo multiplicadas por 5. Em seguida, viriam: 
 55=6255=3.125 
 56=3.1255=15.625, etc. 
<p>
  No sentido inverso, isto , diminuindo os expoentes de 1 em 1, as potncias vo sendo divididas por 5: 

 <:w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:>
 -2 -1  0  1  2  3  4

<F->
4 :> 54 :> 625
3 :> 53 :> 125
2 :> 52 :> 25
1 :> 51 :> 5
0 :> 50 :> 1
-1 :> 5-1 :> '''
-2 :> 5-2 :> '''
<F+>

  As potncias seguintes so 5-1 e 5-2. Para manter a regularidade observada, devemos ter: 
 5-1=15=#,e
 5-2=`(#,e`)5=#,e.#,e=#,be
<132>
<p>
Potncias de expoente 
  negativo 

  Potncias de expoente negativo podem surgir quando dividimos potncias de mesma base e aplicamos a propriedade j conhecida: conservar a base e subtrair os expoentes. 
  Por exemplo: 
 5051=5?0-1*=5-1 
 5052=5?0-2*=5-2
  Para que essa propriedade continue valendo, devemos ter: 
 5-1=5051=15
 5-2=5052=125 
  Esses exemplos confirmam o raciocnio anterior e mostram como calcular potncias de expoente negativo: 
 5-3=5053=153 
 5-4=5054=154, 
  etc.
<p> 
  A potncia de uma base no nula e expoente negativo  igual ao 
inverso da potncia que se obtm, 
conservando-se a base e trocando-se o sinal do expoente. 

  Observe mais alguns exemplos: 
<F->
2-3=123=18
2-6=126=164
`(-10)-2=1`(-10)2=
  =1100=0,01
`(-10)-5=1`(-10)5=
  =1-100.000=-0,000.01
<F+>
<p> 
Exerccios

<R+>
39. Qual  o valor da potncia? Copie as tabelas em seu caderno e complete-as. 
<R->
 a)
    !:::::::::::::::::
    l potncia _ valor _
    r::::::::::w:::::::w
    l 24    _ '''   _
    l 23    _ '''   _
    l 22    _ '''   _
    l 21    _ '''   _
    l 20    _ '''   _
    l 2-1   _ '''   _
    l 2-2   _ '''   _
    l 2-3   _ '''   _
    l 2-4   _ '''   _ 
    h::::::::::j:::::::j
<p> 
b)
    !:::::::::::::::::
    l potncia _ valor _
    l 104   _ '''   _
    l 103   _ '''   _
    l 102   _ '''   _
    l 101   _ '''   _
    l 100   _ '''   _
    l 10-1  _ '''   _
    l 10-2  _ '''   _
    l 10-3  _ '''   _
    l 10-4  _ '''   _
    l 10-5  _ '''   _
    h::::::::::j:::::::j
<133>

<F->
40. Calcule: 
a) 4-1 
b) 4-2  
c) `(-2)-1 
d) `(-2)-2 
e) 1-11
f) `(-1)-20 
g) 10-3 
h) `(-20)-2 
<p>
41. Calcule as potncias: 
a) 2-5
b) `(-11)-2
c) `(-2)-3 
d) 3-1 
e) `(10)-2
f) `(-5)-2 

42. Qual  o valor? 
102+101+100+10-1+
  +10-2 
  
  Veja como escrevemos um dcimo como potncia de base 10: 
0,1=110=1101=10-1
<F+>

<R+>
<F->
43. Agora, escreva como potncia de base 10: 
a) um centsimo 
b) um milsimo 
c) 0,000.01 
d) 0,000.000.001 
<p>
44. Escreva como potncia de base 2: 
a) 1 
b) 0,5 
c) 0,25 
d) 0,125
<F+>
<R->

  Observe o clculo: 
`(310)-2=1~`(310)2=
  =1~`(9100)=1009 e 
  `(103)2=1009
  Ento: 
`(310)-2=`(103)2=1009.
  Invertemos a base e trocamos o sinal do expoente.

<F->
45. Calcule: 
a) `(#,b`)-5
b) `(#:e`)-2
c) `(#"c`)-1
d) `(-#,c`)-2
e) `(#;e`)-1
f) `(-#,aj`)-3
g) `(+#;e`)-3
h) `(-#:g`)-2
<p>
<R+>
46. Transforme o decimal em frao e calcule: 
a) `(0,5)-6 
b) `(-0,25)-3 
c) `(-0,1)-1 
d) `(-1,5)-2 

47. Calcule o valor de cada potncia em forma de frao: 
<R->
a) `(0,2)-1 
b) `(0,3)-2 
c) `(-0,4)-1 
d) `(-0,25)-3 

48. Calcule as potncias: 
a) `(0,0.371)0 
b) `(-0,2)2
c) `(-1,7)-2
d) `(-#,c`)-2
e) `(-3)-4
f) `(4,3)3
g) `(-2,7)4
h) `(-5,5)-3
i) `(-5,2.172)1
j) `(-9,1)-1
k) `(0,5)-2
l) `(0,75)-1
<p> 
<R+>
49. Observe: 123=2-3. Agora escreva na forma de potncia com expoente negativo: 
<R->
a) 1`(+3)7
b) 153
c) 17
d) 1`(-2)5
e) 12
f) 122
g) 1`(-3)2
h) 1`(-3)3
 
<R+>
50. Que nmero deve ser colocado no lugar dos pontinhos? 
<R->
a) `(#,c`)'''=9
b) `(-2)'''=#,af
c) 5'''=#,e
d) `(-#,b`)'''=-32
e) `(-5,2.172)'''=-5,2.172
f) `(-9,1)'''=#,}ia

51. Qual  o expoente? 
a) 110.000=10'''
b) 1625=5'''
c) 1-512=`(-2)'''
d) 1258=`(25)'''
<p>
52. Calcule: 
a) `(-#;c`)-5.`(-#;c`)3
b) `(0,5)2`(0,5)-2
c) `[`(0,4)-1`]3 
<F+>
 
  As propriedades da potenciao continuam valendo mesmo para expoentes negativos. 

<R+>
<F->
53. Aplicando as propriedades das potncias, reduza a uma s potncia: 
a) `(#,e`)2.`(#,e`)-5.`(#,e`)-1
b) `(#;c`)-2`(#;c`)-5
c) `[`(-#:d`)5`]-2
d) `(-6)13.`(-6`)-4`(-6)6
e) `(2-2)6.`(2-3)-1
f) 2?23*.2?32* 

54. Descubra, com auxlio das propriedades das potncias, qual  o nmero certo para colocar no lugar dos pontinhos. 
a) `[`(#;e`)3`]-1=`(#;e`)'''
b) `[`(-#c`)-2`]-3=
  =`(-#c`)'''
<p>
c) `[`(#,b`)2`]3`(#,b`)5=
  =`(#,b`)'''
d) `(#=aa`)10`(#=aa`)-2=`(#=aa`)'''
e) `[`(#,b`)2`]3`(#,b`)-4=
  =`(#,b`)'''=2'''
f) 11-10`(11-3)3=
  =11'''=#,aa'''
g) `[`(#,c`)-3`]-2.`(#,c`)-5=
  =`(#,c`)'''=3'''
h) `(25)2`(2-5)-2=
  =2'''
<F+>
<135>

55. O Brasil foi campeo mundial de futebol pela primeira vez em 1958, na Sucia. A partida final, Brasil { Sucia, foi emocionante para os brasileiros. Descubra o resultado, calculando as expresses: 
<R->
 Brasil -- `[-#ae-`(-#;}c`)`(-#=e`)+
  +#,,c.`(-#=e`).`(-2)`]2+`(#=aa`)0
 `[2.`(-#:d`)2-5.`(-#:d`)-#*h`]-1
  `[#;c`(5-1)`] -- Sucia 
<p> 
<R+>
56. Numa prova com cinco expresses, cada resposta correta valia 2 pontos e cada resposta errada, -1 ponto. Que nota tirou o aluno que deu as respostas a seguir?  
<R->
 Expresso: 5.`(-103)1+2.
  .`(12)-1
 Resposta: -383
 Expresso: 3`[`(-12)2+2-3+
  +`(-2)-2`]
 Resposta: 158
 Expresso: 3-1.2-2+
  +3-2.2-1+`(-3)-1.
  .`(-2)-1
 Resposta: 1136
 Expresso: `[12.`(-32)-
  -`(-12)3`]-2
 Resposta: 6425
 Expresso: `[`(+12`)`(-23`)-
  -`(-43)`]2`(32)-1
 Resposta: 23
<p>
Desafios

Pelos direitos do boi 

  Um pequeno fazendeiro destina a rea aproximada de um quarteiro, 10.000 m2, para pastagem de cada cabea de gado que possui. Para manter 16 cabeas de gado num pasto quadrado, qual deve ser o permetro do pasto?  

Para no reclamar da grama 

  Trs mquinas aparam a grama de trs campos de futebol em trs horas. 
  Em quanto tempo uma dessas mquinas apara a grama de um campo de futebol? 

               ::::::::::::::::::::::::
<136>
<p>
Captulo 19- Raiz quadrada 
  aritmtica 

A coreografia dos alunos 

  Nas comemoraes do aniversrio do colgio, o professor de Educao Fsica organizou uma apresentao dos seus 250 alunos. Na apresentao de uma coreografia, os alunos se colocaram em fileiras, formando trs quadrados: um de 25, outro de 81 e o ltimo de 144 alunos. Em cada quadrado, o nmero de fileiras era igual ao nmero de alunos por fileira. 
<R+>
 Quantos alunos participaram dessa coreografia? 
 Cada quadrado tinha quantas fileiras? De quantos alunos? 
<R->
  O nmero de alunos que participaram da coreografia : 25+81+144=250 
  Todos os 250 alunos participaram. 
<p>
  Para responder s outras perguntas, mutiplicamos o nmero de fileiras pelo nmero de alunos por fileira, para encontrar o total de alunos que formavam o quadrado. Ento, precisamos descobrir o nmero que, multiplicado por ele mesmo, d 25 (num dos quadrados), 81 (em outro) e 144 (no ltimo). 
  A resposta em relao ao quadrado de 25 alunos  5 fileiras de 5 alunos, porque 25=5.5=52. 
  No quadrado de 81 alunos, havia 9 fileiras de 9 alunos, porque 81=92. 
  No quadrado de 144 alunos, havia 12 fileiras de 12 alunos, porque 144=122. 

Quadrados perfeitos 

  As figuras a seguir so exemplos de inteiros quadrados perfei-
<p>
 tos. Um inteiro quadrado perfeito  o quadrado de outro nmero inteiro. 
<137>
<F->
o
1=12

o o
o o
4=22

o o o
o o o
o o o
9=32

o o o o
o o o o
o o o o
o o o o
16=42

o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o
25=52 
<F+>

  Um racional quadrado perfeito  o quadrado de outro racional. Por exemplo:
 #,d=`(#,b`)2 
 0,36=`(0,6)2
 2,25=`(1,5)2 
  Os nmeros quadrados perfeitos podem ser relacionados s reas de quadrados. Observe as figuras: 

<F->
pccccccccccccccc
l               _ 
l               _
l               _
l               _
pccccccc       _
l rea  _       _
l 14 _       _
l       _       _
v-------#-------#
: 12 :o
:::::: 1 ::::::o
<p>
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
p  rea  pcpcpcpcpcpcpc
v 0,36  v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
pcpcpcpcpcpcpcpcpcpc
v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#v-#
::::: 0,6 :::::o
::::::::::: 1,0 :::::::::::o
<p>
pcccccccccccccccccccccccc
l                        _
l                        _
l                        _
l                        _
l       rea             _
l                        _
l      2,25             _
l                        _
l                        _
l                        _
l                        _
l                        _
v------------------------#
::::::::::: 1,5 :::::::::::o
<F+>

Raiz quadrada

<R+>
_`[{a menina diz: "Qual  o nmero cujo quadrado  25?"_`]
<R->

  Existem dois: 5 e -5, porque:
 52=5.5=25 
 `(-5`)2=`(-5)`(-5)=25 
<p>
  O nmero positivo 5  chamado raiz quadrada aritmtica de 25. Indicamos: 
 25=5 (L-se: "raiz quadrada".) 
<138>
  Um inteiro (ou racional) positivo quadrado perfeito  o quadrado de dois nmeros: um positivo, outro negativo. O nmero positivo  denominado raiz quadrada aritmtica do quadrado perfeito dado. 
  Por exemplo: 
 1=1
 4=2 
 9=3 
 16=4 
 25=5 
 ?#,d*=#,b
 0,36=0,6
 2,25=1,5 

  Raiz quadrada aritmtica de um quadrado perfeito positivo  o nmero positivo cujo quadrado  igual ao nmero dado. 
<p>
  Outros exemplos: 
<R+>
 81=9, porque 9  positivo e 92=81. 
 144=12, porque 12  positivo e 122=144. 
 ?#*af*=#:d, porque #:d  positivo e `(#:d)2=#*af. 
 1,21=1,1, porque 1,1  positivo e `(1,1`)2=1,21. 
<R->
  Observao: O nmero 0 tambm  um quadrado perfeito, porque 02=0. Nesse caso, 0 representa o nico nmero cujo quadrado  0, ou seja: 0=0

Exerccios 

<R+>
57. Quantos centmetros mede o lado de cada quadrado? 
<R->
<F->
a) rea =16 cm2
b) rea =36 cm2

58. Qual  a raiz quadrada? 
a) 100 
b) 25 
c) 225 
<F+>
<139>
<p>
<R+>
59. Copie cada sentena no caderno e substitua os pontinhos pelos valores corretos: 
<F->
a) Se `(#;g`)2=''', ento ?#di*='''
b) Se `(#,e`)2=''', ento '''=#,e.

60. Qual  a raiz quadrada? 
a) ?#*di*
b) ?#,ha*
c) ?#,!be*

61. Copie cada sentena e substitua os pontinhos pelos valores corretos: 
a) Se `(2,1)2=''', ento 4,41='''
b) Se `(0,3)2=''', ento '''=0,3. 
<F+>
<p>
62. Copie as tabelas no caderno e complete-as: 
<R->
 a)
<F->
 pcccccccccccccccccccccccccc
 l um inteiro _ seu quadrado _
 l termina em _ termina em   _
 r::::::::::::w::::::::::::::w
 l 1         _ ...          _ 
 l 2         _ ...          _
 l 3         _ ...          _
 l 4         _ ...          _
 l 5         _ ...          _
 l 6         _ ...          _
 l 7         _ ...          _
 l 8         _ ...          _ 
 l 9         _ ...          _
 l 0         _ ...          _
 v------------#--------------#
<p>
 b)
 pcccccccccccccccccccccc
 l um inteiro _ sua raiz _
 l quadrado   _ quadrada _
 l perfeito   _ termina  _
 l termina em _ em       _
 r::::::::::::w::::::::::w
 l 0         _ ...      _
 l 1         _ ...      _
 l 4         _ ...      _
 l 5         _ ...      _
 l 6         _ ...      _
 l 9         _ ...      _
 v------------#----------#
<F+>
 
<R+>
<F->
63. Quanto mede o lado de cada quadrado? 
a) rea =5,29 cm2 
b) rea =12,25 cm2 

64. Qual  a raiz quadrada? 
a) ?#ha*
b) 1,44
c) 0,25
d) 6,25
e) 1,69 
f) 10,24
<F+>
<R->

  Veja esta curiosidade sobre os quadrados dos nmeros terminados em 5: 
<R+>
<F->
ao quadrado 
`(15)2
52=25
12=2
152=225

ao quadrado 
`(25)2
52=25
23=6
252=625

ao quadrado 
`(35)2
52=25
34=12
352=1.225

65. Calcule: 
a) 452, 552, 652, 852 e 1052  
b) 5.625, 9,025, 20,25 e 42,25. 

66. D o valor de: 
a) 900 
b) 100 
c) 400 
d) 1.225  
e) 1.600 
f) 64  
<140>

67. O piso de uma cozinha quadrada ser recoberto com lajotas quadradas de 40 centmetros de lado. A rea da cozinha  12,96 m2. 
a) Quais so as dimenses da cozinha? 
b) Quantas lajotas sero necessrias?  

68. Este artista calcula o preo de suas telas pela rea pintada: R$10,00 por decmetro quadrado. A moldura, de qualquer tamanho, vale R$100,00. Uma tela quadrada, emoldurada, est sendo vendida por R$740,00. A 
<p>
  moldura em largura de 10 cm (ou seja, 1 dm). 
a) Quais so as dimenses da tela sem a moldura?  
b) Qual  o permetro externo da moldura? 

69. Calcule o valor das expresses: 
a) 3.4+2.16 
b) 1-5.9+22 
c) 90-9
d) 3.64-36-4.50 

70 Calcule: 
a) ?186+1* 
b) ?12.8-5.3*
c) 2.49-3.?5+4* 
d) ?50-1*-2.?364* 
e) ?23+12*
f) ?25+22* 
<p>
71. Calcule o valor das expresses: 
a) 3.81-2.`(#,b`)2 
b) 4.?#,d*+5.?#,be*
c) 3.0,25-2.0,04+
  +0,2.`(-0,3)
d) #;e.0,81+#:g.0,49
e) ?#,d*-?#,i*.?#*af*+
  +?#*be*?#:!be* 
f) 7.2,25+3.0,25-
  -10.`(-1,33)

72. Agora voc  o professor. Cada resposta certa vale 20 pontos e cada resposta errada, -5 pontos. Que nota voc deve dar para o aluno que apresenta estas respostas? 
Expresso: 4+925-
  -16.81 
Resposta: -#,!=e
Expresso: 0,040,0.009
Resposta: #;}c
Expresso: 0,09-3.0,2.
  .`(-0,8)2
Resposta: 0,84
Expresso: 64-16-3.4
Resposta: -2
Expresso: `(#:d`)2-?#*af*
Resposta: #:h
Expresso: 25+4-36
Resposta: 1
<F+>
<R->
<141>

Matemtica em notcia

  Observe a tabela a seguir, que indica o IMC a partir do qual considera-se que uma criana tem sobrepeso ou  obesa. Depois resolva as questes. 

<R+>
_`[Tabela de "IMC infantil indica se a criana est ou no com o peso adequado" adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Idade (anos);
 2 coluna: IMC -- masc. sobrepeso;
 3 coluna: IMC -- fem. sobrepeso;
<p>
 4 coluna: IMC -- masc. obesidade;
 5 coluna: IMC -- fem. obesidade.

<F->
2; 18,4; 18; 20,1; 20,1.
2,5; 18,1; 17,8; 19,8; 19,5.
3; 17,9; 17,6; 19,6; 19,4.
3,5; 17,7; 17,4; 19,4; 19,2.
4; 17,6; 17,3; 19,3; 19,1.
4,5; 17,5; 17,2; 19,3; 19,1.
5; 17,4; 17,1; 19,3; 19,2.
5,5; 17,5; 17,2; 19,5; 19,3.
6; 17,6; 17,3; 19,8; 19,7.
6,5; 17,7; 17,5; 20,2; 20,1.
7; 17,9; 17,8; 20,6; 20,5.
7,5; 18,2; 18; 21,1; 21.
8; 18,4; 18,3; 21,6; 21,6.
8,5; 18,8; 18,7; 22,2; 22,2.
9; 19,1; 19,1; 22,8; 22,8.
9,5; 19,5; 19,5; 23,4; 23,5.
10; 19,8; 19,9; 24; 24,1.
10,5; 20,2; 20,3; 24,6; 24,8.
11; 20,6; 20,7; 25,1; 25,4.
11,5; 20,9; 21,2; 25,6; 26,1.
12; 21,2; 21,7; 26; 26,7.
12,5; 21,6; 22,1; 26,4; 27,2. 
<F+>
<R->
<p>
  Para calcular o IMC (ndice de Massa Corprea), divida o peso (em kg) pela altura (em m) ao quadrado. 
  Exemplo: 
<F->
Peso =40 kg 
Altura =1,25 m 
IMC =40`(1,25)2=25,6 
<F+>

<R+>
(*Folha de S. Paulo*, 17/6/2004. Folha Equilbrio.) 
<R->
 
  Para jovens e adultos, considera-se que h sobrepeso para IMC de 25 a 30 e obesidade para IMC superior a 30. 
<R+>
a) Calcule o seu IMC e procure na tabela em que situao voc est, de acordo com a sua idade. Se voc estiver com sobrepeso ou obesidade, converse com os seus pais sobre o assunto. 
<R->
 IMC = peso  (altura)2 
<R+>
b) No exemplo dado,  possvel saber se a criana tem sobrepeso ou  obesa? Por qu? 
<R->
<142>
<p>
Teste seu conhecimento 

<R+>
1. A potncia de base 22+`(-2)2 e expoente 13-`(-1)3 vale: 
<F->
a) 0 
b) 1 
c) 16 
d) 64 

2. A mdia aritmtica de 23, 24 e 28 : 
a) menor que 25. 
b) 25 
c) 26 
d) maior que 26. 

3. Em quantas das expresses a seguir o resultado  negativo? 
32+52-72 
`(-2)3-`(-3)2+42 
-102+`(-8)2-`(-3)3
a) Em nenhuma. 
b) Em uma.
c) Em duas. 
d) Em trs. 
<p>
  Leia o enunciado a seguir para resolver os testes 4 e 5. 
  Vamos associar a cada letra um nmero de acordo com a posio dela no alfabeto. Por exemplo: 
A=1; B=2; C=3; D=4. 
<F+>
<R->

<R+>
4. O resultado de 23-`(-2)3-22-`(-2)2 corresponde  letra: 
<R->
 a) D 
 b) H 
 c) L 
 d) P 

5. A palavra: 
 -32+`(-2)3+52-1 
 50-18`(-3)+23 
 `(-2)4-12`(-6)1-63.
  .6-2 
  : 
 a) GOD 
 b) GOL 
 c) GIL 
 d) YES 
<p>
<R+>
6. O valor de `(0,5)0-
  -`(0,5)1+`(0,5)2-`(0,5)3  o mesmo de: 
<R->
 a) `(0,5)4  
 b) `(0,5)410 
 c) `(0,5)4.10 
 d) 5-4 

<R+>
7. A seguir h quantas sentenas falsas? 
<R->
 `(7+3)2=72+32 
 `(7+3)2o72+32 
 `(7.3)272.32 
 a) nenhuma 
 b) uma 
 c) duas
 d) trs 

8. O dobro de 2222 : 
 a) 2223 
 b) 2444 
 c) 4222 
 d) 4444 
<p>
9. A dcima parte de 1010 : 
 a) 101 
 b) 110 
 c) 910 
 d) 109 

10. Quanto  50% de 2100? 
 a) 299 
 b) 250 
 c) 1 
 d) incalculvel 

11. Cem milhes  o valor de: 
 a) `(102)3 
 b) 1023 
 c) `(103)2 
 d) 1032 

12. Qual desses nmeros  0,08? 
 a) (0,2)3 
 b) (0,2)310 
 c) 0,64 
 d) 0,6410 
<p>
<R+>
13. A raiz quadrada de `(0,01)3  igual a: 
<R->
 a) 0,1  
 b) 0,01 
 c) 0,001 
 d) 0,0.001 

<R+>
<F->
  Leia o enunciado a seguir e resolva os testes 14 e 15: 
  No ponto A da figura est representado um nmero racional quadrado perfeito. 
<F+>
<R->

  O A +1
 <:w::w::w:::>
 
<R+>
<F->
14. O quadrado desse nmero fica representado: 
a)  esquerda de O. 
b) entre O e A. 
c) entre A e +1. 
d)  direita de +1. 
<p>
15. A raiz quadrada aritmtica desse nmero fica representada: 
a)  esquerda de O. 
b) entre O e A. 
c) entre A e +1. 
d)  direita de +1. 

16. Analise as afirmaes a seguir e responda: quantas so verdadeiras? 
16-64-3.25=-19 
?50-1*-?25-16*=6 
?16+9*+`(0,5)2-0,5=4,25 
<R->
<F+>
<F->
a) nenhuma 
b) uma 
c) duas 
d) trs 
<F+>

               oooooooooooo
<143>
<p>
Unidade 5 -- Geometria: reas 
<144>

Captulo 20- Distncias e reas

Recordando reas 

  Voc deve se lembrar de um assunto visto no 6 ano: a rea de um retngulo (mais correto seria dizer: rea da regio limitada por um retngulo) de 4 cm de base e 3 cm de altura  4.3 cm2, ou seja, 12 cm2. 

<F->
       c pcpcpcpc 
       _  v-#v-#v-#v-#
       _  pcpcpcpc
altura _  v-#v-#v-#v-#
       _  pcpcpcpc
       #- v-#v-#v-#v-#
          r::::::::::w
              base
<F+>
<p>
  Para qualquer retngulo, a rea  o produto da medida da base pela medida da altura. 
 rea (retngulo) = base  altura 

  Um quadrado de lado 4 cm pode ser entendido como se fosse um retngulo de 4 cm de base e 4 cm de altura; portanto, a rea desse quadrado  4.4 cm2, ou seja, 16 cm2. 

<F->
     c pcpcpcpc 
     _  v-#v-#v-#v-#
     _  pcpcpcpc
lado _  v-#v-#v-#v-#
     _  pcpcpcpc
     _  v-#v-#v-#v-#
     _  pcpcpcpc
     #- v-#v-#v-#v-#
        r::::::::::w
            lado
<F+>

  Qualquer quadrado tem como rea o produto da medida do lado por ela mesma. 
 rea (quadrado) = lado  lado 
<p>
  Tambm podemos calcular a rea da superfcie limitada por outros polgonos, tais como: tringulo, paralelograma, losango e trapzio.
  Para fazer esse clculo precisamos medir algumas distncias. 
<145>

Distncia entre dois pontos 

  Qual  o caminho mais curto? 
  Se consideramos dois pontos, A e B, sempre  possvel tomar vrios caminhos (trajetrias) para lig-los. 
  Observe as trajetrias _`[no representadas_`].
  Cada linha que liga A com B tem um comprimento. Qual  o caminho mais curto para ir de A at B? 
  O caminho mais curto para ir de A at B  o segmento de reta ^c?{a{b*. Sua medida  chamada distncia entre os pontos A e B. 
<p>
  Neste caso, para medir a distncia entre dois pontos, A e B, traamos o segmento ^c?{a{b* e medimos com uma rgua graduada o seu comprimento _`[no representada_`].

Raio: uma distncia especial 

  Para construir circunferncias, utilizamos o instrumento chamado compasso, como mostra a foto _`[no representada_`].
  Observe a circunferncia que desenhamos _`[no representada_`].
  O centro da circunferncia  o ponto O e seu raio mede 2 cm. Todos os pontos da circunferncia (A, B, C, D e E, por exemplo) esto  distncia de 2 cm do ponto O. 
<146>
  Todos os pontos do interior da circunferncia (F e G, por exemplo) esto a uma distncia menor que 2 cm do ponto O.
  Os pontos da circunferncia e os pontos do seu interior formam uma figura denominada crculo. 
<p>
<R+>
Distncia entre um ponto e uma reta 
<R->

  Vamos analisar agora outra situao, considerando um ponto P e uma reta *r*. Se tomarmos em *r* vrios pontos, A, B, C, D, E, etc., cada um deles estar a uma certa distncia de P, como mostra a figura _`[no representada_`].

<R+>
_`[{a professora pegunta: "Qual  o segmento mais curto?"_`]
<R->

  Observe os segmentos ^c?{p{a*, ^c?{p{b*, ^c?{p{c*, ^c?{p{d* e ^c?{p{e*, por exemplo. Cada um desses segmentos tem um comprimento. Qual  o mais curto dos segmentos que ligam P a um ponto da reta *r*? 
<p>
  O mais curto dos segmentos que ligam P a um ponto de *r*  o segmento ^c?{p{c*, j que a reta ~:,?{p{c*  perpendicular  reta *r*. A medida do segmento ^c?{p{c*  chamada distncia entre o ponto P e a reta *r*. 
<F->
         
         l 
        o P 
         l 
         l 
         l_-
r <:::::o:::::>
      C l
         l
         l
         l
         l

~:,{p{c#'r
<F+>
<p>
<R+>
Como medir a distncia entre um ponto e uma reta 
<R->

  Para medir a distncia entre um ponto P e uma reta *r*, precisamos de dois instrumentos: uma rgua graduada e um esquadro. 
  Com esses instrumentos, procedemos da seguinte forma: 
<R+>
<F->
1) Colocamos a rgua sobre a reta. 
2) Apoiamos o esquadro na rgua. 
<147>
3) Deslizamos o esquadro e traamos a reta perpendicular a *r* e que passa por P. 
4) Medimos a distncia ^c?{p{q* com a rgua. 
<F+>

Distncia entre duas retas 
  paralelas 
<R->

  Vamos pensar em duas retas paralelas, *r* e *s*. Se tomarmos em *r* dois pontos quaisquer, A e B, notaremos que a distncia entre A e *s* (dada pelo segmento ^c?{a{x*)  igual  distncia entre B e *s* (dada pelo segmento ^c?{b{y*). 

<F->
       A       B
r <::::o:::::::o::::
       _        _
       _        _
       _        _
       _        _
s <::::o:::::::o::::
       X       Y
<F+>

^c?{a{x*=^c?{b{y*

  A medida de ^c?{a{x* (ou de ^c?{b{y*)  a distncia entre as retas *r* e *s*. 

<R+>
Como medir a distncia entre duas retas paralelas 
<R->

  Para medir a distncia entre duas retas paralelas, *r* e *s*, procedemos da seguinte forma: 
<R+>
 1) Tomamos um ponto A qualquer em *r* e traamos por A a reta perpendicular a *r* e *s*. 
<p>
 2) Medimos a distncia ^c?{a{x* com a rgua.
<R->
<148>

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 1 a 9, pea orientao ao professor_`]

1. Mea as distncias entre P e os pontos A, B, C, D e E _`[no representados_`]. 
2. Mea as distncias entre P e os pontos A, B, C, D e E _`[no representados_`]. 
3. Mea as distncias entre P e os pontos A, B e C _`[no representados_`]. 
4. Marque um ponto O no seu caderno. Com um compasso, desenhe as circunferncias com centro O e raios 2 cm, 4 cm e 5 cm. 
5. Marque um ponto X no seu caderno. Com um compasso, desenhe o conjunto dos pontos que esto  distncia de 3 cm do ponto X. Em seguida, pinte a regio formada pelos pontos que esto a menos de 3 cm do ponto X. 
<p>
6. Mea a distncia entre o ponto B e a reta ~:,?{a{c nas seguintes figuras _`[no representadas_`]. 
<149>
7. Altura de um trapzio  a distncia entre suas bases (paralelas). Mea a altura dos seguintes trapzios _`[no representados_`]. 
8. Sabendo que a altura de um paralelogramo  a distncia entre dois lados paralelos, mea a menor altura dos seguintes paralelogramos _`[no representados_`]. 
9. Sabendo que a altura de um tringulo  a distncia entre um vrtice e a reta que contm o lado oposto a esse vrtice, mea as alturas hA, hB e hC dos seguintes tringulos _`[no representados_`]. 
<F+>
<R->
<p>
A rea da horta 

  Seu Joaquim quer saber qual  a rea do cercado que fez para plantar verduras. O cercado tem a forma do paralelogramo representado a seguir: 

<F->
     cccccccccccccccm
                   
                  
                 
                
---------------
<F+>
<150>

rea do paralelogramo 

  Para encontrar a rea do paralelogramo, vamos transform-lo num retngulo, "cortando" o tringulo {a{d{e e deslocando-o para a posio {b{c{f. 
<p>
  Observe que a rea do paralelogramo {a{b{c{d  igual  rea do retngulo {e{f{c{d. 
<F->

     D              C
     #cccccccccccccccm
    _              
    _             
    _ 3 m       
    _           
----#----------
A             B
<F+>

  Comparando o paralelogramo {a{b{c{d e o retngulo {e{f{c{d, notamos que suas bases tm a mesma medida (4 m), assim como suas alturas tambm tm a mesma medida (3 m). 
<p>
  Como a rea do retngulo {e{f{c{d  4 m 3 m =12 m2, essa ser tambm a rea do paralelogramo {a{b{c{d. 

<F->
D        C
pcpcpcpc c
v-#v-#v-#v-# _
pcpcpcpc _
v-#v-#v-#v-# _ 3 m
pcpcpcpc _
v-#v-#v-#v-# _
pcpcpcpc _
v-#v-#v-#v-# #-
E        F
r::::::::::w
    4 m
<F+>

  A rea do paralelogramo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura. 
 rea (paralelogramo) = base  
   altura 
<p>
Exerccios
 
<R+>
<F->
10. Calcule a rea de um paralelogramo de base 8 cm e altura 5 cm. 

  Dizemos que duas figuras planas so equivalentes quando possuem reas iguais. Exemplo: um retngulo de base 4 cm e altura 1 cm  equivalente a um quadrado de lado 2 cm, porque eles tm reas iguais (4 cm2. 
<R->

pccccccc c     pccccc c
l       _ _ 1   l     _ _ 2
v-------# #-     l     _ _
r:::::::w        v-----# #-
    4
<F+>
<151>

<R+>
11. Calcule a medida do lado de um quadrado equivalente a um retngulo de dimenses 9 cm e 4 cm.  
<p>
12. Quais das figuras a seguir so equivalentes a um quadrado de lado 8 cm? 
<R->
<F->
a) retngulo

pcccccccc 
l        _ 7 cm
l        _ 
v--------# 
  9 cm

b) paralelogramo

     cccccccccccccccm
                   {
                   {
                   { 6,4 cm
                   {
---------------....{
r:::::::::::::::l
    10 cm
<p>
c) retngulo

pcccccccccccc 
l            _  
l            _ 4 cm 
l            _  
v------------# 
 16 cm
<F+>

<R+>
13. Para que um paralelogramo de base 12 cm seja equivalente a um retngulo de dimenses 6 cm por 8 cm, qual deve ser sua altura? 
<p>
_`[{para as atividades 14 e 15, pea orientao ao professor_`]

14. Calcule a rea da regio colorida: 
<R->

<F->
aaaaac   
     _   
     _   
     _ 8 cm       
     _    
     _    
     _    
.....#- 
r::::::::::::::l
    18 cm
<F+>

<R+>
15. Calcule a rea da regio colorida _`[no representada_`]. 
<R->
<R+>
 16. Com 5.000 peas de cermica em forma de paralelogramo, conforme a figura a seguir,  possvel ladrilhar totalmente um 
<p>
  salo de 7 m por 5,6 m? Qual  o nmero mnimo de peas necessrias para isso? 
<R->

<F->
     cccccccccccccccm c
                     _
                     _
                     _ 5 cm
                     _
---------------......#-
r:::::::::::::::l
    14 cm
<F+>
<152>
<p>
rea do tringulo 

<R+>
_`[{o menino pensa: "Qual  a rea do tringulo?"_`]
<R->

<F->
          
         { 
         {  
         {   
         {    
         {     
         {3 cm  
         {       
  -------u--------u 
  r::::::::::::::::l
         5 cm
<F+>
 
  Vamos considerar um tringulo de 5 cm de base e 3 cm de altura. 
  A base do tringulo  um dos seus lados. A altura relativa  base  um segmento de reta que forma ngulo reto com a base e cujas extremidades esto uma na prpria base e a outra no vrtice oposto a ela. 
<p>
  Vamos considerar o tringulo dado, {a{b{c, e construir pelo ponto C a reta *r* paralela ao lado ^c?{a{b*. Em seguida, vamos construir pelo ponto B a reta *s* paralela ao lado ^c?{a{c*. 

<F->
                              
          C                 D
     r  ccccccccccccccccccccc
         {               s
         {              
         {             
         {            
         {             
         {3 cm     
         {         
  -------u--------u 
  A              B
  r::::::::::::::::l
         5 cm
<F+>

  As retas *r* e *s* se interceptam no ponto D. 
<p>
  O quadriltero {a{b{c{d  um paralelogramo. 
  Comparando o tringulo {a{b{c com o paralelogramo {a{b{c{d, notamos que suas bases tm a mesma medida (5 cm), assim como suas alturas tambm tm a mesma medida (3 cm). 
  A rea do paralelogramo {a{b{c{d : 
 5 cm 3 cm =15 cm2 
  Como o paralelogramo {a{b{c{d  formado por dois tringulos iguais ({a{b{c e {b{c{d), cada um deles tem uma rea igual  metade da rea do paralelogramo. 
 rea {a{b{c=?5 cm 3 
  cm*2=7,5 cm2 

  A rea do tringulo  igual ao produto da medida da base pela medida da altura relativa a essa base dividido por 2. 
 rea (tringulo) =?base  
   altura*2 
<153>
<p>
Exerccios

<R+>
_`[{para as atividades de 17 a 21, pea orientao ao professor_`]

17. Calcule a rea de cada um dos seguintes tringulos _`[no representados_`]. 
 18. Calcule a rea da regio colorida nas figuras _`[no representadas_`]. 
 19. Calcule a rea do terreno cuja planta  dada na figura: 
<R->

<F->
        15 m
      pccccccccccc
      l_-       _-_
      l           _ 8 m
      l           _
      l           _
16 m l           
      l          
      l         
      l_-      
      v-------
        8 m
<F+>
<R+>
20. Calcule a rea da regio colorida nas seguintes figuras 
  _`[no representadas_`]. 
<R->
<154>
<R+>
21. Calcule a rea da superfcie colorida na figura _`[no 
representada_`].
<R->

rea do losango 

<R+>
_`[{o menino diz: "E o losango? Qual  a sua rea?"_`]
<R->
<p>
  Vamos considerar um losango com 60 cm na diagonal maior e 40 cm na diagonal menor: 

<F->
      
      
       
        
         
     _-   
''''''''''''u
           
          
         
        
       
      
      
<F+>

  Usando as diagonais, podemos decompor o losango em quatro tringulos iguais: 
<155>
<p>
  Cada um desses tringulos tem base 30 cm (metade da diagonal maior) e altura 20 cm (metade da diagonal menor); portanto, tem rea igual a: 
 ?30 cm 20 cm*2=300 cm2 
  Como a rea do losango  quatro vezes a rea desse tringulo, ento: 
<R+>
 rea do losango =40?30 cm 20 cm*2=40300 cm2=12.000 cm2 
<R->
  Tambm podemos escrever: 
<R+>
 rea do losango =40?30 cm 20 cm*2=?600 cm 40 cm*2=12.000 cm2 
<R->

  A rea de um losango  igual ao produto das medidas de suas diagonais dividido por dois. 
 rea (losango) =?diagonal 
  maior  diagonal menor*2 
<p>
rea do trapzio 

<R+>
_`[{a menina diz: "E como calcular a rea do trapzio?"_`]
<R->

  Considere um trapzio de 6 cm de base maior, 4 cm de base menor e 3 cm de altura: 

<F->
      D    4 cm    C
      ::::::::::::::o
      cccccccccccccc 
                    
                     
      3 cm           
                       
                        
-------------------------u
::::::::::::::::::::::::::o
A        6 cm            B
<F+>
<156>

  Note que podemos cortar o trapzio {a{b{c{d na diagonal ^c?{b{d*. Dessa forma o trapzio fica dividido em dois tringulos: 
  O tringulo {a{b{d tem base de 6 cm e altura de 3 cm; ento, sua rea  ?6 cm 3 cm*2. O tringulo {b{c{d tem base de 4 cm e altura de 3 cm; ento, sua rea  ?4 cm 3 cm*2. 
  A rea do trapzio  a soma das reas dos dois tringulos. Ento: 
 diagonal maior: 6 cm 
 diagonal menor: 4 cm
<R+>
 rea =?6 cm 3 cm*2+
  +?4 cm 3 cm*2=
  =?`(6+4) cm 3 cm*
  2=15 cm2
<R->

  A rea do trapzio  igual  mdia aritmtica das medidas das bases multiplicada pela altura. 
 rea =?(base maior + base 
  menor)  altura*2 

Exerccios

<R+>
_`[{para as atividades 22, 23 e 25, pea orientao ao professor_`]
 
22. Calcule a rea das regies coloridas _`[no representadas_`].
<p>
<157>
 23. Calcule a rea das superfcies coloridas _`[no representadas_`].
 24. Calcule a rea do terreno cuja planta  a da seguinte figura: 
<R->

<F->
         20 m
      r:::::::::w
      pccccccccc
      l       _-k
      l         k 
      l         k  
30 m l         k   
      l         k    
      l         k     
      l         k      
      v---------u-------
                r:::::::w
                   20 m
<F+>

<R+>
25. Calcule a rea das superfcies coloridas _`[no representadas_`]. As escalas representam centmetros. 
<R->
<158>
<p>
Desafio

Palitometria 

  Mudando de posio 3 palitos de fsforo, forme uma figura com 5 quadrados de 1 palito de lado. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Matemtica em notcia

<R+>
Leia atentamente o texto a seguir. 

A matemtica dos fios 

Alguns dos nmeros mais 
  impressionantes sobre cabelos 

<F->
14 centmetros  a mdia de crescimento de cada fio de cabelo por ano -- enfileirados, esses fios somariam 13 quilmetros
<p>
100 fios  a quantidade de cabelo perdida num s dia. Se nenhum novo fio surgisse na cabea, em trs anos as pessoas ficariam 100% carecas
70 milsimos de milmetro (ou mcrons)  a espessura de um fio de cabelo. Seria necessrio juntar quarenta fios para chegar  espessura de um prego pequeno
600 fios  a quantidade de cabelo de uma criana por centmetro quadrado. Aos 60 anos, a concentrao cai  metade
<F+>
<R->

(*Veja*, 27/2/2008.)

  Empregando os nmeros citados, calcule aproximando os resultados e responda: 
<R+>
<F->
a) Quantos fios de cabelo de 14 cm  necessrio enfileirar para somar 13 quilmetros?  
b) Considerando que 100 fios de cabelo so perdidos por dia, quantos fios sero perdidos em 3 anos? 
<p>
c) De acordo com o texto, qual  a espessura de um prego pequeno? 
d) Se uma criana tem 150 mil fios de cabelo, quantos centmetros quadrados tem o seu couro cabeludo? 
e) Com base nos dados do item anterior, considere que o couro cabeludo seja um retngulo de 10 cm de largura. Qual ser o comprimento desse retngulo?  
<F+>
<R->
<159>

Teste seu conhecimento 

1. Observe a figura: 
<F->
 
            P
            o
           _^
         ^ _  ^
       ^   _    ^   
     ^     _      ^
   ^       _        ^
::o:::o::::o::::::::o:: r 
  A   B    C        D       
<F+>
<p>
  O segmento que tem a medida mais prxima da distncia do ponto P  reta *r* : 
<F->
a) ^c?{p{a*
b) ^c?{p{b*
c) ^c?{p{c*
d) ^c?{p{d*
<F+>

<R+>
<F->
2. Uma sala retangular de 7 m por 4 m vai ser forrada com lajotas quadradas de 25 cm de lado. Quantas lajotas sero necessrias?
a) 112 
b) 448 
c) 560 
d) 896 

3. Os retngulos representados a seguir vo ser agrupados para formar um quadrado. 
<F+>
<R->

<F->
pccccaapccccaapcccc c
v----#''v----#''v----# #- 1,5 cm
4,5 cm 4,5 cm 4,5 cm
<F+>
<p>
  A rea do quadrado resultante 
  : 
<F->
a) 20,25 cm2 
b) 2,25 cm2 
c) 6,75 cm2 
d) 9 cm2 
<F+>

<R+>
_`[{para as atividades de 4 a 10, pea orientao ao professor_`]

4. Na figura, o quadrado A tem rea de 25 cm2, e os retngulos B e C tm rea de 10 cm2 cada um. 
<R->

<F->
    cccccccc
   _        _
   _        _
 D_  C    _ 
---#--------#
l   _        _
l   _        _
l B_  A    _
l   _        _
l   _        _
v---#--------#
<F+>
<p>
  Qual  a rea do tringulo D? 
<F->
a) 4 cm2 
b) 3 cm2  
c) 2 cm2 
d) 5 cm2 

<R+>
5. O quadriltero {a{b{c{d _`[no representado_`]  um retngulo e os pontos E, F e G dividem a base ^c?{a{b* em quatro partes iguais. A rea do tringulo {c{e{f representa qual frao da rea do retngulo? 
a) #,f 
b) #,g
c) #,h 
d) #,i 
<F+>
<p>
6. (Cesgranrio-RJ) A rea da sala representada na figura : 
<R->

<F->
            7 cm
      pccccccccccccccc
      l               _
2 cm l               _ 3 cm
      l               _
      v----'          _
           l          _
           l          _
           v----------#
              6 cm

a) 15 m2 
b) 17 m2 
c) 19 m2  
d) 20 m2 

<R+>
7. (PUC-SP) A rea do quadrado colorido _`[no representado_`] : 
<R->
a) 36 
b) 40
c) 48 
d) 50 
<F+>

<p>
<R+>
8. (UF-PE) A planta de um projeto agrcola, na escala 1:10.000, tem a forma e as dimenses indicadas na figura a seguir. Qual  a rea do projeto em hectares? 
<R->

<F->
          20 cm
       pccccccccccc
10 cm l           _ 4 cm
       l            
       l          
       l         
       l        
       l       
       l      
       l     
       l    
       l   
       l  
       l 
       l 
       a
<F+>

  Escala 1:10.000 quer dizer: 1 cm na figura equivale a 10.000 cm no projeto.
<p>
<F->
a) 120 ha 
b) 140 ha 
c) 250 ha 
d) 630 ha 
<F+>

<R+>
9. Quanto mede o lado do quadrado equivalente ao losango colorido na figura? 
<R->

<F->
pccccc#ccccc c
l        _ _
l      _ _
l    _ _
l  _ _
l_ _
u _ 6 cm
p _
lp_ _
l p _ _
l  p  _ _
l   p   _ _
l    p    _ _
v-----p-----# #-
r::::::::::::w
   12 cm
<p>
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 8 cm
d) 12 cm 
<F+>

<R+>
10. A rea do quadrado {a{p{c{d representa que frao da rea do trapzio {a{b{c{d? 
<R->

<F->
D  2 cm C
pccccccccc
l         k
l         k 
l         k  
l         k   
l         k    
l         k     
l         k      
l         k       
v---------u--------
A 2 cm  P 1 cm B

a) #e
b) #:d
c) #=aj 
d) #;c
<F+>
<160>
<p>
Desafios

O problema dos armrios 

  Uma escola tem exatamente 100 armrios e 100 estudantes. No primeiro dia de aula, os estudantes encontraram-se fora do prdio e planejaram: 
<R+>
 O primeiro estudante entrar na escola e abrir todos os armrios. 
 O segundo aluno entrar e fechar todos os armrios com nmeros pares `(2, 4, 6, 8, 10, ...`). 
 O terceiro aluno, ento, inverter o que tiver sido feito a cada 3 armrios (no 3, 6, 9, 12, ...), o que significa: ele abrir se o armrio estiver fechado ou fechar se estiver aberto. 
 O quarto aluno inverter o que tiver sido feito a cada 4 armrios (no 4, 8, 12, 16, ...), e assim por diante. 
<R->
<p>
  Aps todos os alunos terem entrado e realizado suas tarefas, como estar o armrio de nmero 100: aberto ou fechado? 

Ser que cabe? 

  Em informtica, *byte* (B)  uma unidade de memria. Para se quantificar a capacidade de memria de discos, costumam-se usar outras medidas mltiplas de byte, como, por exemplo, as seguintes: 
 
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l nome     _ smbolo_  tamanho   _
r::::::::::w::::::::w::::::::::::w
l kilobyte _   KB _ 210 B  _
r::::::::::w::::::::w::::::::::::w
l megabyte _   MB _ 210 KB_
r::::::::::w::::::::w::::::::::::w
l gigabyte _   GB _ 210 MB_
r::::::::::w::::::::w::::::::::::w
l terabyte _   TB _ 210 GB_
h::::::::::j::::::::j::::::::::::j
<p>
  Um antigo disquete tinha capacidade de armazenar 1,44 MB. Os atuais CD-Roms armazenam 740 MB. E em um DVD cabem 4,7 GB. 
  Como 210  aproximadamente mil, quantos *bytes* cabiam aproximadamente: 
a) nesse disquete? 
b) E em um CD? 
c) E em um DVD? 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo
              
Fim da Quarta Parte

